题目内容

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0， $数学公式$ ）为圆心，作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC交x轴于点E，连接DB，∠BDC=30°．
（1）求弦AB的长；
（2）求直线PC的函数解析式；
（3）连接AC，求△ACP的面积．

（1）解：∵CD⊥AB，CD为直径，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AMO=2∠P=2∠BDC=60°，
∵MA=MC，
∴△MAC是等边三角形，
∴MA=AC=MC，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MAO=30°，
∴AM=2OM=2 $\text{[math]}$ ，
由勾股定理得：AO=3，
由垂径定理得：AB=2AO=6．

（2）解：连接PB，

∵AP为直径，
∴PB⊥AB，∴PB= $\text{[math]}$ AP=2 $\text{[math]}$ ，
∴P（3，2 $\text{[math]}$ ），
∵MA=AC，AO⊥MC，
∴OM=OC= $\text{[math]}$ ，
C（0，- $\text{[math]}$ ）
设直线PC的解析式是y=kx+b，代入得： $\text{[math]}$ ，
解得：k= $\text{[math]}$ ，b=- $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．

（3）解：P（3，2 $\text{[math]}$ ），
∴S_△ACP=S_△ACM+S_△CPM，
= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×3+ $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×3=6 $\text{[math]}$ ，
答：△ACP的面积是6 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出∠AMO的度数，得出等边三角形AMC，求出CM、OM，根据勾股定理求出OA，根据垂径定理求出AB即可；
（2）连接PB，求出PB饿值，即可得出P的坐标，求出C的坐标，设直线PC的解析式是y=kx+b，代入求出即可；
（3）分别求出△AMC和△CMP的面积，相加即可求出答案．
点评：本题综合考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的面积，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的运用，主要考查学生综合运用这些定理进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，但难度适中，是一道比较好的题目．