题目内容
如图所示，在平面直角坐标系中，现将一张等腰直角三角形纸片ABC放在第二象限，斜靠在
两坐标轴上，点B的坐标为（-3，1），且抛物线y=ax2+ax-4a经过点B．（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）求点A和点C的坐标；
（Ⅲ）以AC所在直线为对称轴，将△ABC折叠，问点B的对称点B1是否落在抛物线上？再以AC的中点为对称中心，将△ABC作中心对称变换，这时点B的对称点B2是否落在抛物线上？若在，求出它们的坐标；若不在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）根据图象经过B点直接代入解析式求出a即可；
（Ⅱ）首先过点B作BD⊥x轴，证明△BCD≌△CAO，进而得出A，C点的坐标；
（Ⅲ）首先证明△MB1C≌△DBC，同理可证△AB2N≌△CAO，即可得出点B1（1，-1）与点B2（2，1），进而得出答案．
（Ⅱ）首先过点B作BD⊥x轴，证明△BCD≌△CAO，进而得出A，C点的坐标；
（Ⅲ）首先证明△MB1C≌△DBC，同理可证△AB2N≌△CAO，即可得出点B1（1，-1）与点B2（2，1），进而得出答案．
解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax-4a经过点B，
∴1=9a-3a-4a，
解得：a=
；
∴抛物线的解析式为：y=
x2+
x-2；
（Ⅱ）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∵点B坐标是（-3，1），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点A的坐标S是（0，2），点C的坐标是（-1，0）；
（Ⅲ）B1和B2都在抛物线上，
延长BC至点B1，使得B1C=BC，得到点B的对称点B1，
过点B1作B1M⊥x轴，
∵CB1=CB，∠MCB1=∠BCD，∠B1MC=BDC=90°，
∴△MB1C≌△DBC，
∴CM=CD=2，B1M=BD=1，
可求得点B1（1，-1），
过点A作AB2∥CB，且AB2=CB，得到点B的对称点B2，
过点B2作B2N⊥y轴，
同理可证△AB2N≌△CAO，
∴NB2=OA=2，AN=OC=1，
可求得点B2（2，1），
经检验，点B1（1，-1）与点B2（2，1）都在抛物线y=
x2+
x-2上．
∴1=9a-3a-4a，
解得：a=
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∴抛物线的解析式为：y=
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（Ⅱ）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∵点B坐标是（-3，1），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点A的坐标S是（0，2），点C的坐标是（-1，0）；
（Ⅲ）B1和B2都在抛物线上，
延长BC至点B1，使得B1C=BC，得到点B的对称点B1，
过点B1作B1M⊥x轴，
∵CB1=CB，∠MCB1=∠BCD，∠B1MC=BDC=90°，
∴△MB1C≌△DBC，
∴CM=CD=2，B1M=BD=1，
可求得点B1（1，-1），
过点A作AB2∥CB，且AB2=CB，得到点B的对称点B2，
过点B2作B2N⊥y轴，
同理可证△AB2N≌△CAO，
∴NB2=OA=2，AN=OC=1，
可求得点B2（2，1），
经检验，点B1（1，-1）与点B2（2，1）都在抛物线y=
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点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及全等三角形的判定，熟练利用全等三角形的判定以及性质得出有关点的坐标是解题关键．
练习册系列答案
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