题目内容
如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是
否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的
直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是
否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（1） 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t. 则 ＝＝，
又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴ ＝＝.∴ ＝，
又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. ………………4分
当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考虑一种情况即可）
∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.
（2）① 如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，
QM＝20－4t.
由AQ＋QM＝AM 得2t＋20－4t＝
解得t＝，∴ 当t＝时，点P、M、N在一直线上. …………………………8分
② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠
NMH＝30°.
∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2× 解得t＝2， …………………10分
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝ .
故 当t＝2或 时，存在以PN为一直角边的直角三角形. …………………12分
又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴ ＝＝.∴ ＝，
又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. ………………4分
当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考虑一种情况即可）
∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.
（2）① 如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，
QM＝20－4t.
由AQ＋QM＝AM 得2t＋20－4t＝
解得t＝，∴ 当t＝时，点P、M、N在一直线上. …………………………8分
② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠
NMH＝30°.∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2× 解得t＝2， …………………10分
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝ .
故 当t＝2或 时，存在以PN为一直角边的直角三角形. …………………12分
略
练习册系列答案
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≥3，且
，
，
，
，下面的四个结论中：
；④
，其中正确的有（ ）
中，
为
上一点，且
．
为等腰直角三角形，斜边
与
交于点
,延长
，连接
、
,作
,垂足为
，下列结论：①
≌
；②
为等腰直角三角形；③
；④
；⑤
．其中正确的个数为( )
中，
，
，
，在
上截取
，使
，过点
作
于
于点
，连接
，交
于点
，交
。
，
，求