Question

如图，在平面直角坐标系中，已知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0）．
（1）求AO、AB所在直线的函数解析式；
（2）在△AOB内可以作一个正方形CDEF，使它的三个顶点分别落在边AO、AB上，E、F两个顶点落在OB上，请求出这个正方形四个顶眯的坐标，并在图中画出这个正方形；
（3）连接OC，在线段OC上任取一点P，过P作与x轴、y轴的不行线与OA、OB分别交于M、N两点，过M作OB边的垂线与OB交于H；你有什么发现？请写出来，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设OA所在直线的解析式为：y=k₁x，
把A（4，6）代入得4k₁=6，∴
∴AO所在直线的解析式为：
设AB所在直线的解析式为：y=k₂x+b，
把A（4，6）、B（6，0）代入得，
解得，
∴AB所在直线的解析式为：y=-3x+18．

（2）过A作AS⊥OB于S，交CD于T．
∵DC∥EF，
∴△ADC∽△AOB，
∴．
∵A（4，6），B（6，0），
∴OB=6，AS=6，，
∴AT=DC=TS=3，故可设D（x，3），
∵D（x，3）在的图象上，
∴x=2，故D（2，3），
可设C点的坐标为（x，3）
∵CD=3，
∴x-2=3，即x=5，
∴C（5，3），
又∵是DE、CF都垂直于OB且DE=CF，
∴E、F两点的坐标分别为：E（2，0）、F（5，0）．

（3）四边形MHNP是矩形．
∵DC∥PM，PN∥FC
∴
∴．
又∵四边形EFCG是正方形，DC=CF．
∴MP=NP，而MH⊥OB，PN⊥OB，
∴四边形MHNP是正方形．
分析：（1）因为△ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0），所以可设OA所在直线的解析式为：y=k₁x，把A（4，6）代入得到关于k₁的方程，解之即可；可设AB所在直线的解析式为：y=k₂x+b，把A（4，6）、B（6，0）代入得到关于k₂、b的方程组，解之即可；
（2）因为在△AOB内可以作一个正方形CDEF，使它的三个顶点分别落在边AO、AB上，E、F两个顶点落在OB上，所以可过A作AS⊥OB于S，交CD于T，利用DC∥EF，可得△ADC∽△AOB，利用相似三角形的对应边的比等于相似比，可得，由点的坐标可知OB=6，AS=6，所以AT=DC=TS=3，故可设D（x，3），利用D（x，3）在的图象上，求出x的值就求出了D的坐标；同样可设C点的坐标为（x，3），因为CD=3，结合D的横坐标可得到x-2=3，即x=5，就可求出C（5，3），根据CDEF是正方形，即可写出E、F的坐标．
（3）因为DC∥PM∥HN，PN∥FC∥HM，可得，，MHNP是平行四边形，利用四边形EFCG是正方形，DC=CF，可得MP=NP，而MH⊥OB，PN⊥OB，所以四边形MHNP是正方形．
点评：本题的解决需利用待定系数法、相似三角形的性质、正方形的判定这些知识，另外解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．