题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2

(1)若直线l1:y=x-1与抛物线C有且只有1个交点,求抛物线C的解析式.

(2)如图1,在(1)的条件下,在y轴上有一点A(0,4),过点A作直线l2与抛物线C有两个交点M、N(N位于第一象限),过点N作x轴的垂线,垂足为H.试探究:是否存在l2,使MON∽△NHO?若存在,求出l2的解析式;若不存在,说明理由.

(3)如图2,E、F为抛物线C(y=ax2)上两动点,始终满足OEOF,连接EF,则直线EF是否恒过一定点G?若存在点G,直接写出G点坐标(用含a的坐标表示),若不存在,给予证明.

(参考结论:若直线l:y=kx+b上有两点(x1,y1)、(x2,y2),则斜率k=;当两直线l1、l2的斜率乘积k1k2=-1时,l1l2

【答案】(1) C的解析式为y=x2(2) y=4;(3)点G坐标为(0,).

【解析】

试题分析:(1)首先将l1和抛物线C的解析式联立得:ax2-x+1=0,由直线l1:y=x-1与抛物线C有且只有1个交点,可得=0,继而求得a的值,即求得抛物线C的解析式;

(2)首先设l2解析式为y=kx+b,然后与抛物线C解析式联立,再设点M(x1,kx1+4),N(x2,kx2+4),分别表示出OM,ON的斜率,然后求得k1k2=-1,即可证得OMON,则可求得l2的解析式;

(3)与(2)类似,可以由k1k2=-1,求得G点坐标.

试题解析:(1)将l1和抛物线C的解析式联立得:ax2-x+1=0,

y=x-1与抛物线C有且只有1个交点,

∴△=1-4a=0,

解得a=

C的解析式为y=x2

(2)假设存在l2,设l2解析式为y=kx+b,

与抛物线C解析式联立得: x2-kx-4=0,

设点M(x1,kx1+4),N(x2,kx2+4),

则直线OM、ON的斜率分别为k1=,k2=

k1k2=k2+

x1+x2=4k,x1x2=-16,

k1k2=k2++=-1,

OMON恒成立,MON=NHO=90°,

要想使MON∽△NHO成立,只需再令MNO=NOH即可,

即MNx轴,

存在l2符合题意,l2解析式为y=4;

(3)存在定点G,

假设存在l,设l解析式为y=kx+b,

与抛物线C解析式联立得:ax2-kx-b=0,

设点M(x1,kx1+b),N(x2,kx2+b),

则直线OM、ON的斜率分别为k1=,k2=

k1k2=k2+

x1+x2=,x1x2=-,OEOF,

k1k2=k2+=-ab=-1,

b=

点G坐标为(0,).

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