题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2.
(1)若直线l1:y=x-1与抛物线C有且只有1个交点,求抛物线C的解析式.
(2)如图1,在(1)的条件下,在y轴上有一点A(0,4),过点A作直线l2与抛物线C有两个交点M、N(N位于第一象限),过点N作x轴的垂线,垂足为H.试探究:是否存在l2,使△MON∽△NHO?若存在,求出l2的解析式;若不存在,说明理由.
(3)如图2,E、F为抛物线C(y=ax2)上两动点,始终满足OE⊥OF,连接EF,则直线EF是否恒过一定点G?若存在点G,直接写出G点坐标(用含a的坐标表示),若不存在,给予证明.
(参考结论:若直线l:y=kx+b上有两点(x1,y1)、(x2,y2),则斜率k=;当两直线l1、l2的斜率乘积k1k2=-1时,l1⊥l2)
【答案】(1) C的解析式为y=x2;(2) y=4;(3)点G坐标为(0,).
【解析】
试题分析:(1)首先将l1和抛物线C的解析式联立得:ax2-x+1=0,由直线l1:y=x-1与抛物线C有且只有1个交点,可得△=0,继而求得a的值,即求得抛物线C的解析式;
(2)首先设l2解析式为y=kx+b,然后与抛物线C解析式联立,再设点M(x1,kx1+4),N(x2,kx2+4),分别表示出OM,ON的斜率,然后求得k1k2=-1,即可证得OM⊥ON,则可求得l2的解析式;
(3)与(2)类似,可以由k1k2=-1,求得G点坐标.
试题解析:(1)将l1和抛物线C的解析式联立得:ax2-x+1=0,
∵y=x-1与抛物线C有且只有1个交点,
∴△=1-4a=0,
解得a=,
∴C的解析式为y=x2;
(2)假设存在l2,设l2解析式为y=kx+b,
与抛物线C解析式联立得: x2-kx-4=0,
设点M(x1,kx1+4),N(x2,kx2+4),
则直线OM、ON的斜率分别为k1=,k2=,
∴k1k2=k2+,
∵x1+x2=4k,x1x2=-16,
∴k1k2=k2++=-1,
∴OM⊥ON恒成立,∠MON=∠NHO=90°,
要想使△MON∽△NHO成立,只需再令∠MNO=∠NOH即可,
即MN⊥x轴,
∴存在l2符合题意,l2解析式为y=4;
(3)存在定点G,
假设存在l,设l解析式为y=kx+b,
与抛物线C解析式联立得:ax2-kx-b=0,
设点M(x1,kx1+b),N(x2,kx2+b),
则直线OM、ON的斜率分别为k1=,k2=,
∴k1k2=k2+,
∵x1+x2=,x1x2=-,OE⊥OF,
∴k1k2=k2+=-ab=-1,
∴b=,
∴点G坐标为(0,).