Question

已知：如图，在正方形中，点、分别在和上，．

（1）求证：；
（2）连接交于点，延长至点，使，连接、，判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明见解析（2）菱形，证明见解析

（1）证明：∵四边形是正方形，∴，．
∵，∴RtRt．∴．………………………（５分）
(2)四边形是菱形．…………………………………………………………（7分）
∵四边形是正方形，∴，．
∵，∴，即．∴………（10分）
∵，∴四边形是平行四边形．………………………………（11分）
∵，∴平行四边形是菱形．……………………………………（12分）
（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；
（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．