题目内容
【题目】如图,抛物线经过点
,与
轴负半轴交于点
,与
轴交于点
,且
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在
轴上,且
,求点
的坐标;
(3)点在抛物线上,点
在抛物线的对称轴上,是否存在以点
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形?若存在。求出所有符合条件的点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)D1(0,1),D2(0,﹣1);(3)存在,M(4,5)或(﹣2,5)或(0,﹣3)
【解析】
试题分析:(1)待定系数法即可得到结论;
(2)连接AC,作BF⊥AC交AC的延长线于F,根据已知条件得到AF∥x轴,得到F(﹣1,﹣3),设D(0,m),则OD=|m|即可得到结论;
(3)设M(a,a2﹣2a﹣3),N(1,n),①以AB为边,则AB∥MN,AB=MN,如图2,过M作ME⊥对称轴y于E,AF⊥x轴于F,于是得到△ABF≌△NME,证得NE=AF=3,ME=BF=3,得到M(4,5)或(﹣2,5);②以AB为对角线,BN=AM,BN∥AM,如图3,则N在x轴上,M与C重合,于是得到结论.
试题解析:(1)由y=ax2+bx﹣3得C(0.﹣3),
∴OC=3,
∵OC=3OB,
∴OB=1,
∴B(﹣1,0),
把A(2,﹣3),B(﹣1,0)代入y=ax2+bx﹣3得,
∴,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)设连接AC,作BF⊥AC交AC的延长线于F,
∵A(2,﹣3),C(0,﹣3),
∴AF∥x轴,
∴F(﹣1,﹣3),
∴BF=3,AF=3,
∴∠BAC=45°,
设D(0,m),则OD=|m|,
∵∠BDO=∠BAC,
∴∠BDO=45°,
∴OD=OB=1,
∴|m|=1,
∴m=±1,
∴D1(0,1),D2(0,﹣1);
(3)设M(a,a2﹣2a﹣3),N(1,n),
①以AB为边,则AB∥MN,AB=MN,如图2,过M作ME⊥对称轴y于E,AF⊥x轴于F,
则△ABF≌△NME,
∴NE=AF=3,ME=BF=3,
∴|a﹣1|=3,
∴a=4或a=﹣2,
∴M(4,5)或(﹣2,5);
②以AB为对角线,BN=AM,BN∥AM,如图3,
则N在x轴上,M与C重合,
∴M(0,﹣3),
综上所述,存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,M(4,5)或(﹣2,5)或(0,﹣3).

【题目】某中学举行一次演讲比赛,分段统计参赛学生的成绩如下表(分数为整数,满分为100分),
分数段(分) | 60≤x<70 | 70≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x<100 |
人数(人) | 2 | 8 | 6 | 4 |
则这次比赛的平均成绩为______分.