Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA="16" cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用含t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3）当△OPQ∽△ABP时，抛物线y＝x²+bx+c经过B、P两点，求抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，求线段MN的最大值．

Answer 1

（1）；（2）是；（3）；（4）9

试题分析：（1）根据速度与时间的关系分别表示出CQ、OP、OQ的长度，然后利用三角形的面积公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面积减去△ABP与△BCQ的面积，根据面积公式分别列式进行整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后代入数据求解即可得到t值，从而得到点P的坐标；
（4）先求出直线BP的解析式，然后根据直线解析式与抛物线解析式设出点M、N的坐标，再根据两点间的距离表示出MN的长度，根据二次函数的最值问题解答．
（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，


=128-64+8t-8t=64，
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于64；
（3）当△OPQ∽△ABP时，./

解得：t₁=2，t₂=8（舍去），
此时P（4，0），
∵B（16，8），
  
∴抛物线解析式是；
（4）设直线BP的解析式为y=kx+b
 

∴直线BP的解析式是

∵M在BP上运动，
∴4≤m≤16，

∴当时，MN有最大值是9．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．