Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD边上一点（点E与A、D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，试把AM用含x的代数式表示出来；
（2）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式．

Answer 1

解：（1）连接ME．
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BM=ME=6-AM，
在△AME中，∠A=90°，
由勾股定理得：AM²+AE²=ME²，
AM²+x²=（6-AM）²，
AM=3-x．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b，
因MN垂直平分BE，
则ME=MB=6-a，NE=NB，
所以由勾股定理得
AM²+AE²=ME²，DN²+DE²=NE²=BN²=BC²+CN²
即a²+x²=（6-a）²，b²+（4-x）²=4²+（6-b）²，
解得a=3-x²，b=x²+x+3，
所以四边形ADNM的面积为S=×（a+b）×4=2x+12，
即S关于x的函数关系为S=2x+12（0＜x＜2），
答：S关于x的函数关系式是S=2x+12．
分析：（1）根据线段的垂直平分线推出BM=ME，根据勾股定理求出即可．
（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b，根据勾股定理得到AM²+AE²=ME²，DN²+DE²=NE²=BN²=BC²+CN²，代入求出即可．
点评：本题主要考查对线段的垂直平分线性质，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．