题目内容

【题目】 我们定义:如图1、图2、图3,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转αα180°)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC,连接BC,当α+β180°时,我们称AB'CABC旋补三角形ABCB'C上的中线AD叫做ABC旋补中线,点A叫做旋补中心.图1、图2、图3中的ABC均是ABC旋补三角形

1)①如图2,当ABC为等边三角形时,旋补中线ADBC的数量关系为:AD   BC

②如图3,当∠BAC90°BC8时,则旋补中线AD长为   

2)在图1中,当ABC为任意三角形时,猜想旋补中线ADBC的数量关系,并给予证明.

【答案】1②4;(2ADBC

【解析】

1)①首先证明△ADB'是含有30°的直角三角形,可得ADAB'即可解决问题;

②首先证明△BAC≌△B'AC',根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题;

2)结论:ADBC.如图1中,延长ADM,使得AD=DM,连接B'MC'M,首先证明四边形AC'MB'是平行四边形,再证明△BAC≌△AB'M,即可解决问题.

1)①如图2中,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=AB'=AC'

DB'=DC',∴ADB'C'

∵∠BAC=60°,∠BAC+B'AC'=180°,∴∠B'AC'=120°,∴∠B'=C'=30°,∴ADAB'BC

故答案为:

②如图3中,∵∠BAC=90°,∠BAC+B'AC'=180°,∴∠B'AC'=BAC=90°.

AB=AB'AC=AC',∴△BAC≌△B'AC',∴BC=B'C'

B'D=DC',∴ADB'C'BC=4

故答案为:4

2)结论:ADBC

理由:如图1中,延长ADM,使得AD=DM,连接B'MC'M

B'D=DC'AD=DM,∴四边形AC'MB'是平行四边形,∴AC'=B'M=AC

∵∠BAC+B'AC'=180°,∠B'AC'+AB'M=180°,∴∠BAC=MB'A

AB=AB',∴△BAC≌△AB'M,∴BC=AM,∴ADBC

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