Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿线段AB向点B方向运动，点Q从点D出发，以每秒3cm的速度沿线段DC向点C运动，已知动点P、Q同时出发，点P到达B点或点Q到达C点时，P、Q运动停止，设运动时间为t (秒)．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求t的值；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得PQ⊥AB？若存在，请求出t的值并说明理由；若不存在，请说明理

Answer 1

【答案】（1）16；（2）2；（3）不存在．理由见解析

【解析】（1）作AM⊥CD于M，由勾股定理求AM，再得CD=DM+CM=DM+AB；

（2）由题意：BP=AB﹣AP=10﹣2t．DQ=3t，根据：当BP=DQ时，四边形PBQD是平行四边形，可得10﹣2t=3t,可求t；

（3）作AM⊥CD于M，连接PQ．假设存在，则AP=MQ=3t﹣6，即2t=3t﹣6，求出的t不符合题意，故不存在.

解（1）如图1，作AM⊥CD于M，

则由题意四边形ABCM是矩形，

在Rt△ADM中，

∵DM2=AD2﹣AM2，AD=10，AM=BC=8，

∴AM=

=6，

∴CD=DM+CM=DM+AB=6+10=16．

（2）当四边形PBQD是平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，

如图2中，由题意：BP=AB﹣AP=10﹣2t．DQ=3t，

当BP=DQ时，四边形PBQD是平行四边形，

∴10﹣2t=3t，

∴t=2，

（3）不存在．理由如下：

如图3，作AM⊥CD于M，连接PQ．

由题意AP=2t．DQ=3t，

由（1）可知DM=6，∴MQ=3t﹣6，

若2t=3t﹣6， 解得t=6，

∵AB=10，

∴t≤=5，

而t=6＞5，故t=6不符合题意，t不存在．