题目内容

【题目】如图,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.

(1)求证:△ABC是等边三角形;

(2)若∠PAC=90°,AB=,求PD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)4

【解析】

试题分析:(1)由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°,从而可证得△ABC是等边三角形;

(2)由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=,∠ACB=60°”,在直角三角形PAC和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度,二者作差即可得出结论.

试题解析:(1)∵∠ABC=∠APC,∠BAC=∠BPC,∠APC=∠CPB=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形

(2)∵△ABC是等边三角形,AB=,∴AC=BC=AB=,∠ACB=60°.在Rt△PAC中,∠PAC=90°,∠APC=60°,AC=,∴AP=ACcot∠APC=2.在Rt△DAC中,∠DAC=90°,AC=,∠ACD=60°,∴AD=ACtan∠ACD=6,PD=AD﹣AP=6﹣2=4.

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