Question

已知Rt△ABC中，直角边AC=3，BC=4，P、Q分别是AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合．点Q不与B、C重合．
（1）若CP⊥AB于点P，如图1，△CPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？直接写出相等的腰和相应的CQ的长（不写解答过程）
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有几个？分别求出相应的CQ的长？
（3）当CQ的长取不同的值时，除PQ垂直于BC的△CPQ外，其余的△CPQ是否可能为直角三角形？若可能，请说明所有情况？若不可能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线，交BC于Q，
则腰是CQ=PQ；
此时CQ=BC=1.5；
当CP为腰时，在BC上截取CQ=CP，
则腰是CP=CQ′，
此时CQ=CP==2.4；
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有3个，
①当△COQ∽△BCA，时，
∴=，
∴CQ=BC=2；
②△PQ′B∽△CAB时，
∴，
∵AP=BP=AB=2.5，BC=4，
∴，
∴BQ′=，
∴CQ′=4-=；
③△CPQ″∽△BCA时，
∴，
∴，
∴CQ″=；
（3）可能．
过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP₁⊥AB于P₁点．
∴CO=OP₁以O为圆心，OC为半径作⊙O，⊙O与AB相切，切点为P₁，与CB的交点为D．
设CO=t，则OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．
由△ABC∽△OBP₁，得
，
∴=，
解得：t=1.5，
∴CD=3，
∴当Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，切点为P₁，连CP₁、P₁Q，△CP₁Q为直角三角形，此时共有两个直角三角形，
当Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜3，CQ为直径的圆与AB相离，此时只有一个直角三角形CQP．
当Q点在DB上时（不与D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P₂、P₃．分别连接P₂、P₃与点C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此时有三个直角三角形．
分析：（1）当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线，交BC于Q，则△CPQ为等腰三角形；当CP为腰时，在BC上截取CQ=CP即可，所以这样的点有两个，分别求出即可；
（2）根据题意画出符合条件的三角形即可求出Q的位置，进而求出出相应的CQ的长；
（3）过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP₁⊥AB于P₁点．设CO=t，则OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．先根据相似三角形△ABC∽△OBP₁的性质求得t值，即得到线段CD的长度，再分情况讨论．①Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，②Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜3，以CQ为直径的圆与AB相离，③Q点在DB上时（不与D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P₂、P₃．
点评：本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的性质和判定，此类题目还是相似与圆的知识的综合运用，难点在第（3）题，解决的根据是三角形相似的性质和直线和圆的三种位置关系．