Question

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=-

1

4

x2+bx+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=-2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．
（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．

Answer 1

（1）对称轴为x=-

b

2×(- 1 4 )

=-2，
解得b=-1，
所以，抛物线的解析式为y=-

1

4

x²-x+3，
∵y=-

1

4

x²-x+3=-

1

4

（x+2）²+4，
∴顶点D的坐标为（-2，4）；

（2）令y=0，则-

1

4

x²-x+3=0，
整理得，x²+4x-12=0，
解得x₁=-6，x₂=2，
∴点A（-6，0），B（2，0），
如图1，过点D作DE⊥y轴于E，
∵0≤t≤4，
∴△PAD的面积为S=S_梯形AOED-S_△AOP-S_△PDE，
=

1

2

×（2+6）×4-

1

2

×6t-

1

2

×2×（4-t），
=-2t+12，
∵k=-2＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴t=4时，S有最小值，最小值为-2×4+12=4；

（3）如图2，过点D作DF⊥x轴于F，
∵A（-6，0），D（-2，4），
∴AF=-2-（-6）=4，
∴AF=DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADF=45°，
由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°，
∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，
∵OF=OB=2，
∴PO为△BDF的中位线，
∴OP=

1

2

DF=2，
∴点P的坐标为（0，2），
由勾股定理得，DP=

(-2-0)2+(4-2)2

=2

2

，
AD=

2

AF=4

2

，
∴

AD

DP

=

4 2

2 2

=2，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），OC=3，
∴

OA

OC

=

6

3

=2，
∴

AD

DP

=

OA

OC

，
又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，
∴Rt△ADP∽Rt△AOC．