题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线交x轴于点A(l,0)、B(3,0),交y轴于点C.
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为对称轴右侧第四象限抛物线上一点,连接PA并延长交y轴于点K,点P横坐标为t,△PCK的面积为S,求S与t的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);
(3)如图3,在(2)的条件下,过点A作AD⊥AP交y轴于点D.连接OP,过点O作OE⊥OP交AD延长线于点E,当OE=OP时,延长EA交抛物线于点Q,点M在直线EC上,连接QM,交AB于点H,将射线QM绕点Q逆时针旋转45°,得到射线QN交AB于点F,交直线EC于点N,若AH:HF=3:5,求的值.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法即可解决问题;
(2)过点P作PG⊥x轴于点G,PS⊥y轴于点S,求出CK、PS的值即可解决问题;
(3)首先确定点Q(2,1),AT=BT=1,推出∠AQB=90°,过点A作AU⊥x轴 并截取AU=BF,连接QU,由△QAU≌△QBF,推出∠AQU=∠BQF,推出QF=QU,∠HQU=∠HQF=45°,QH=QH,推出△QUH≌△QHF,推出UH=HF,设AH=3k,则HF=5k.在Rt△AUH中,AU=3k,推出AH:HF:FB=3:5:4推出AH=HT=,TF=
tan∠HQT=
tan∠FQT=
,设EC直线解析式为y=kx+b 过点E(﹣3,﹣4),点C(0,﹣3),所求解析式为y=
x﹣3,过点M作MV⊥QV 过点N作NL⊥QV于点L 设点M(x,
﹣3),由tan∠HQT=
=
可得x=0,点M(0,﹣3)与点C重合,设点N(n,
n﹣3),tan∠FQT=
=
解得n=3,可得
=
=
;
试题解析:解:(1)将A(1,0),B(3,0)代入抛物线解析式得: ,解得
,∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x﹣3;
(2)过点P作PG⊥x轴于点G,PS⊥y轴于点S,
AG=t﹣1 GP=t2﹣4t+3.在Rt△PAG中,tan∠PAG==
=t﹣3.在Rt△AKO中,tan∠KAO=
=
=t﹣3,OK=t﹣3,∴CK=t﹣3+3=t,∴S=
CKPS=
t2(t>3).
(3)过点E作ER⊥x轴于点R.∵OE⊥OP,∠REO=∠POG,OE=OP,∠ERO=∠OGP,∴△OER≌△POG,∴OG=ER=t,OR=PG=t2﹣4t+3,AR=t2﹣4t+4,∠REA=∠PAG,tan∠REA==
,tan∠REA=tan∠PAG,
=t﹣3,解得:t=4,∴点E(﹣3,﹣4)点P(4,﹣3),CP∥OG AR=ER=4,∴∠EAR=∠QAB=45°,过点Q作QT⊥x轴于点T,并延长CP于点V,连接QB,设点Q(m,﹣m2+4m﹣3),由QT=span>AT 可得﹣m2+4m﹣3=m﹣1,解得m=1或2,∴点Q(2,1),AT=BT=1,∴∠AQB=90°,过点A作AU⊥x轴 并截取AU=BF,连接QU,∠QAU=∠QBT=45°,QA=QB,∴△QAU≌△QBF,∴∠AQU=∠BQF,∴QF=QU,∠HQU=∠HQF=45°,QH=QH,∴△QUH≌△QHF,∴UH=HF,设AH=3k,则HF=5k.在Rt△AUH中,AU=3k,∴AH:HF:FB=3:5:4,∴AH=HT=
,TF=
tan∠HQT=
tan∠FQT=
,设EC直线解析式为y=kx+b 过点E(﹣3,﹣4),点C(0,﹣3),所求解析式为y=
x﹣3,过点M作MV⊥QV 过点N作NL⊥QV于点L 设点M(x,
﹣3),由tan∠HQT=
=
,可得x=0,点M(0,﹣3)与点C重合,设点N(n,
n﹣3),tan∠FQT=
=
,解得:n=3,∴
=
=
.
