题目内容
四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点.连结DE、CF.
(1)若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图(1)所示.

①请直接写出AE的长度;
②当DE⊥CF时,试求出CF长度.
(2)如图(2),若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P.
探究:当∠B与∠PC满足什么关系时,
成立?并证明你的结论.

(1)若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图(1)所示.

①请直接写出AE的长度;
②当DE⊥CF时,试求出CF长度.
(2)如图(2),若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P.
探究:当∠B与∠PC满足什么关系时,


(1)①AE ="5;" ②CF=
;
(2)当∠B+∠EPC=180°时,
成立.证明见解析.

(2)当∠B+∠EPC=180°时,

试题分析:(1) ①四边形ABCD是矩形, CD=10,点E是AB的中点,可得:AE=

②根据已知证得△AED∽△DFC,;利用相似三角形对应边成比例即可;
(2)当∠B+∠EPC=180°时,

试题解析:(1)①∵四边形ABCD是矩形, CD=10,点E是AB的中点,
∴AE=

②∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠FDC=90°,
∵CF⊥DE,
∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,
∴∠CFD=∠AED,
∵∠A=∠CDF,
∴△AED∽△DFC
∴

在△AED中,∠A =90°,AD=12,AE =5,
∴

∴

CF=

(2)当∠B+∠EPC=180°时,

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,
∵∠B+∠EPC=180°,
∴∠A=∠EPC=∠FPD,
∵∠FDP=∠EDA,
∴△DFP∽△DEA,
∴

∵∠B=∠ADC,∠B+∠EPC=180°,∠EPC+∠DPC=180°,
∴∠CPD=∠CDF,
∵∠PCD=∠DCF,
∴△CPD∽△CDF,
∴

∴

∴

即当∠B+∠EPC=180°时,


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