Question

附加题：如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ADC=∠CEB=90°
（1）连接DE、M、N分别是AC、BC上一点，且∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED，探索DM、DE、EN之间的数量关系，并说明理由．
（2）延长AD、BE交于F点，连接DE，CG⊥DE于G点，连接CF，CF与DE相交于O点，OC=OE，延长GC到H点，使得CH=CF，探索BF、BH的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠DCE=90°，推行DM∥EN，过取DE的中点Q，连接CQ，根据梯形的中位线性质求出CQ=

1

2

DE=

1

2

（DM+EN），即可推出答案；
（2）根据互余两角的关系求出∠GCD=∠GEC=∠OCE，推出∠GCA=∠OCE=∠BCH，证△FBC≌△HBC即可．

解答：解：（1）DM+EN=DE，
理由是：∵等腰直角△ADC和△BEC，
∴∠DCA=45°，∠BCE=45°，
∴∠DCE=180°-45°-45°=90°，
∴∠CDE+∠CED=180°-90°，
∵∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED，
∴∠MDC+∠CDE+∠DEC+∠NEC=2×90°=180°，
∴DM∥EN，
过取DE的中点Q，连接CQ，
∵∠DCE=90°，
∴CQ=QE=DQ，
∴∠QCE=∠QEC=∠NEC，
∴CQ∥EN，
同理CQ∥DM，
即DM∥CQ∥EN，
∵Q是DE的中点，
∴MC=CN，
∴CQ=

1

2

（DM+EN），
∵CQ=QD=QE=

1

2

DE，
∴DM+EN=DE．

（2）BF=BH，BF⊥BH，
理由是：由（1）证得：∠DCE=90°，
∵∠DCE=90°，CG⊥DE，
∴∠DCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠GEC=90°，
∴∠DCG=∠GEC，
∵CO=OE，
∴∠GEC=∠ECO，
∴∠GCD=∠ECO，
∵的三角形△ACD和△BEC，
∴∠DCA=∠ECB=45°，
∴∠GCD+∠DCA=∠OCE+∠ECB，
即∠GCA=∠FCB，
∵∠GCA=∠BCH，
∴∠BCH=∠FCB，
在△FBC和△HBC中

FC=CH ∠FCB=∠HCB BC=BC

，
∴△FBC≌△HBC，
∴BF=BH，∠FBC=∠HBC=45°，
∴∠FBH=45°+45°=90°，
∴FB⊥BH．

点评：本题考查了梯形的中位线，等腰三角形的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点的应用，解（1）的关键是求出CQ是梯形的中位线，解（2）小题的关键是证出∠FCB=∠HCB，本题综合性比较强，主要检查学生能否综合运用性质进行推理，题型较好，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．