题目内容

附加题,如图,在△ABC中,∠C=2∠B.
(1)AD是△ABC的角平分线,求证:AB=AC+CD.
(2)若AD是△ABC的外角平分线交BC的延长线于D,其它条件不变,线段AB,AC,CD之间有什么确定的数量关系?画图并证明你的结论.

(1)证明:在AB上取一点E,使得AE=AC,连接DE
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED
∴∠C=∠AED,CD=DE
又∵∠C=2∠B
∴∠AED=2∠B
又∵∠AED=∠B+∠EDB
∴DE=BE
∴BE=CD
∴AB=AC+CD

(2)答:AB=CD-AC
证明:在BA的延长线AF上取一点E,使得AE=AC,连接DE
在△ACD和△AED中

∴△ACD≌△AED
∴∠ACD=∠AED,CD=DE
∴∠ACB=∠FED
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FAD=2∠B
又∵∠FED=∠B+∠EDB
∴∠EDB=∠B
∴DE=BE
∴BE=CD
∴AB=CD-AC.
分析:(1)在AB上取一点E,使得AE=AC,连接DE,证明△ACD≌△AED,得出CD=DE,及证明△EDB为等腰三角形,得出DE=BE,得出AB=AC+CD;
(2)在AB的延长线AF上取一点E,使得AE=AC,连接DE.证明△ACD≌△AED,DE=BE,BE=CD,得出结论.
点评:本题考查了全等三角形的判定、三角形的角平分线的性质及三角形内外角的关系;正确作出辅助线是解答本题的关键,证明线段的和差问题往往是通过全等来证明的.
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