Question

【题目】如图，抛物线m：y=﹣0.25（x+h）2+k与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，6.25），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D．

（1）求抛物线n的解析式；

（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段DE上一个动点（P不与D，E重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A，B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x+36；（2）S=﹣x2+x（13＜x＜18），△PEF的面积S没有最大值；（3）直线CM与⊙G相切，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据抛物线m的顶点为M（3，6.25）得出m的解析式为y=-（x-3）2+=-（x-8）（x+2），求出A（-2，0），B（8，0），再根据旋转的性质得出D的坐标为（13，-6.25），进而求出抛物线n的解析式；
（2）由点E与点A关于点B成中心对称，得出E（18，0），利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=x-，再根据S△PEF=PFOF得出S与x的函数关系式，进而求解即可；
（3）利用勾股定理求出CG==5=⊙G的半径，得出点C在⊙G上．过M作y轴的垂线，垂足为N，连结CM，利用勾股定理求出CM2=CN2+MN2=（-4）2+32=，计算得出CG2+CM2=52+==（）2=GM2，根据勾股定理的逆定理得到CG⊥CM，由切线的判定定理即可得出直线CM与⊙G相切．

试题解析：（1）∵抛物线m：y=﹣0.25（x+h）2+k的顶点为M（3，6.25），

∴m的解析式为y=﹣（x﹣3）2+=﹣（x﹣8）（x+2），

∴A（﹣2，0），B（8，0），

∵将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D，

∴D的坐标为（13，﹣6.25），

∴抛物线n的解析式为y=（x﹣13）2﹣，即y=x2﹣x+36；

（2）∵点E与点A关于点B成中心对称，

∴E（18，0）．

设直线DE的解析式为y=kx+b，

则，解得

∴y=x﹣，

∵P点的坐标为（x，y），13＜x＜18，

∴S△PEF=PFOF=x（﹣y）=﹣xy=﹣x（x﹣）=﹣x2+x，

即S=﹣x2+x（13＜x＜18），

∴当x==9时，S有最大值，但13＜x＜18，所以△PEF的面积S没有最大值；

（3）直线CM与⊙G相切，理由如下：

∵抛物线m的解析式为y=﹣（x﹣3）2+=﹣（x﹣8）（x+2），

∴令x=0，得y=4，

∴C（0，4）．

∵抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，

∴G（3，0），

∵OC=4，OG=3，连结CG，

∴CG==5，

∵AB=10，

∴⊙G的半径是5，

∴点C在⊙G上．

过M作y轴的垂线，垂足为N，连结CM，

则CM2=CN2+MN2=（﹣4）2+32=，

又CG2+CM2=52+==（）2=GM2，

∴CG⊥CM，

∴直线CM与⊙G相切．