Question

阅读下列材料：
某同学在计算3（4+1）（4²+1）时，把3写成4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．很受启发，后来在求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）的值时，又改造此法，将乘积式前面乘以1，且把1写为2-1得（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²⁰⁴⁸-1）（2²⁰⁴⁸+1）=2⁴⁰⁹⁶-1
回答下列问题：
（1）请借鉴该同学的经验，计算：(1+

1

2

)(1+

1

22

)(1+

1

24

)(1+

1

28

)+

1

215

；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

102

)．

Answer 1

分析：（1）在前面乘一个2×（1-

1

2

），然后再连续利用平方差公式计算；
（2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据乘法结合率和有理数的乘法计算即可．

解答：解：（1）原式=2（1-

1

2

）（1+

1

2

）…（1+

1

28

）+

1

215

，
=2（1-

1

216

）+

1

215

，
=2-

1

215

+

1

215

，
=2；

（2）(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

102

)，
=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

10

）（1+

1

10

），
=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×…×

9

10

×

11

10

，
=

1

2

×

11

10

，
=

11

20

．

点评：本题考查了平方差公式的运用，（1）添加2×（1-

1

2

）是解题的关键，（2）利用平方差公式拆项后前一项与后一项出现倒数是解题的关键，计算中有时利用公式求解运算更加简便．