题目内容
【题目】已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A （1，0）和点B （－3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为__________，抛物线的项点坐标为__________；
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；
（4）如图3，点E的坐标为（0，－1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x22x＋3；（1，4）（2）不存在，理由见解析（3）D（1，2）（4）P（
，
）
【解析】
（1）设函数的表达式为：y＝a（x1）（x＋3）＝a（x2＋2x3），即可求解；
（2）利用S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝8，即可求解；
（3）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝
BC＝×3
＝2，即可求解；
（4）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解．
（1）函数的表达式为：y＝a（x1）（x＋3）＝a（x2＋2x3）=ax2＋bx＋3，
即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x22x＋3=（x+1）2＋4，
∴顶点坐标为（1，4）
故答案为y＝x22x＋3；（1，4）；
（2）不存在，理由：
如图1，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
令二次函数x=0,解得y=3
∴C（0，3）
设直线BC的解析式为：y＝kx＋b
把C（0，3），B （-3，0）代入得
解得
∴直线BC的表达式为：y＝x＋3，
设点P（x，x22x＋3），点H（x，x＋3），
则S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝
×3×3＋（x22x＋3x3）×3＝8，
整理得：3x2＋9x＋7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
（3）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∴BC=
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×3＝2，
∴yD＝BDsin∠CBO=2×
＝2，代入直线BC得2＝x＋3，
解得x=-1
∴D（1，2）；
（4）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
∴H（-1，0），
设直线HE的表达式为：y＝px+q
把H（-1，0），E（0，-1）代入得
解得
∴直线HE的表达式为：y＝x1，
联立
解得：x＝
（舍去正值），
故点P（，）．
