题目内容
在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处（如图1），绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE=x，CF=y．（1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
（2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处（如图3），绕O点顺时针方向旋转，其他条件不变．
①试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围；
②将三角尺绕O点旋转（如图4）的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．
【答案】分析：（1）本题可通过构建三角形，通过证全等来得出AE与CF相等的关系，连接OA，那么只要证明三角形AEO和OFC全等即可，根据ASA可得出三角形AEO和OFC全等；
（2）①本题可通过证△BEO∽△COF相似，得出关于x，y的比例关系，然后得出x，y的关系式；
②可根据①中得出的式子求x的值，注意要分三种情况进行讨论．
解答：解：（1）线段AE与CF之间有相等关系．
证明：连接AO．如图2，
∵AB=AC，点O为BC的中点，∠BAC=90°，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
∴△EOA≌△FOC，
∴AE=CF．
（2）①连接AO．
如图4，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠BEO+∠EOB=135°，
∵∠EOF=45°，
∴∠FOC+∠EOB=135°，
∴∠FOC=∠BEO，
∴△BEO∽△COF，
∴
．
在Rt△ABC中，BC=
=2
，点O为BC的中点，
∴BO=OC=
．
∵BE=x，CF=y，
∴
，即xy=2，
∴
．
取值范围是：0＜x≤2．
②△OEF能构成等腰三角形．
当F与A重合时，x=1，此时OE=EA（或OE=EF）；
当E与A重合时，此时x=2，OA=OF（或EF=OF）；
当E、F分别在A点的两边时，x=
，OE=OF，△OEF能构成等腰三角形．
点评：本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识点．
要注意的是旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
（2）①本题可通过证△BEO∽△COF相似，得出关于x，y的比例关系，然后得出x，y的关系式；
②可根据①中得出的式子求x的值，注意要分三种情况进行讨论．
解答：解：（1）线段AE与CF之间有相等关系．
证明：连接AO．如图2，
∵AB=AC，点O为BC的中点，∠BAC=90°，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
∴△EOA≌△FOC，
∴AE=CF．
（2）①连接AO．
如图4，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠BEO+∠EOB=135°，
∵∠EOF=45°，
∴∠FOC+∠EOB=135°，
∴∠FOC=∠BEO，
∴△BEO∽△COF，
∴
．在Rt△ABC中，BC=
=2，点O为BC的中点，∴BO=OC=
．∵BE=x，CF=y，
∴
，即xy=2，∴
．取值范围是：0＜x≤2．
②△OEF能构成等腰三角形．
当F与A重合时，x=1，此时OE=EA（或OE=EF）；
当E与A重合时，此时x=2，OA=OF（或EF=OF）；
当E、F分别在A点的两边时，x=
，OE=OF，△OEF能构成等腰三角形．点评：本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识点．
要注意的是旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
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