Question

已知二次函数y=x²-2（m+2）x+2（m-1）．
（1）证明：无论m取何值，函数图象与x轴都有两个不相同的交点；
（2）当图象的对称轴为直线x=3时，求它与x轴两交点及顶点所构成的三角形的面积．

Answer 1

分析：（1）判断函数图象与x轴的交点情况，就要列出判别式，用配方法确定判别式大于0；
（2）已知对称轴，可以用对称轴的公式求出本题中的待定系数，确定函数解析式，再根据图象求面积．

解答：（1）证明：∵b²-4ac=4（m+2）²-8（m-1）=4（m+1）²+20＞0，
∴无论m取何值，函数图象与x轴都有两个不相同的交点；

（2）由对称轴x=3得：-

-2(m+2)

2

=3，解得m=1，
∴二次函数为y=x²-6x．
∴与x轴的两交点是（0，0），（6，0）；顶点是（3，-9），
∴面积为：

1

2

×6×9=27．

点评：解答此题的关键是根据对称轴的公式求待定系数，然后由图象解答求面积的问题，锻炼了学生数形结合的思想方法．