题目内容
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
、
、
，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为：
（2）若△DEF三边的长分别为
、
、
，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为
（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是
| 5 |
| 10 |
| 13 |
（1）△ABC的面积为：
3.5
3.5
．（2）若△DEF三边的长分别为
| 5 |
| 8 |
| 17 |
3
3
．（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是
110
110
m2．分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；
（2）根据网格结构和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；
（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角边”证明△ABG和△EAP全等，同理可证△ACG和△FAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AG=FQ；
（4）过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解无理方程求出h，从而求出△PQR的面积，再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解．
（2）根据网格结构和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；
（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角边”证明△ABG和△EAP全等，同理可证△ACG和△FAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AG=FQ；
（4）过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解无理方程求出h，从而求出△PQR的面积，再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解．
解答：解：（1）△ABC的面积=3×3-
×2×1-
×3×1-
×2×3=，
=9-1-1.5-3，
=9-5.5，
=3.5；
（2）△DEF如图2所示；
面积=2×4-
×1×2-
×2×2-
×1×4，
=8-1-2-2，
=8-5，
=3；
（3）∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠PAE+∠BAG=180°-90°=90°，
又∵∠AEP+∠PAE=90°，
∴∠BAG=∠AEP，
在△ABG和△EAP中，
，
∴△ABG≌△EAP（AAS），
同理可证，△ACG≌△FAQ，
∴EP=AG=FQ；
（4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，
在Rt△PRH中，PH=
=
，
在Rt△RQH中，QH=
=
，
∴PQ=
+
=6，
=6-
，
两边平方得，25-h2=36-12
+13-h2，
整理得，
=2，
两边平方得，13-h2=4，
解得h=3，
∴S△PQR=
×6×3=9，
∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m2．
故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=9-1-1.5-3，
=9-5.5，
=3.5；
（2）△DEF如图2所示；
面积=2×4-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=8-1-2-2，
=8-5，
=3；
（3）∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠PAE+∠BAG=180°-90°=90°，
又∵∠AEP+∠PAE=90°，
∴∠BAG=∠AEP，
在△ABG和△EAP中，
|
∴△ABG≌△EAP（AAS），
同理可证，△ACG≌△FAQ，
∴EP=AG=FQ；
（4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，
在Rt△PRH中，PH=
| PR2-RH2 |
| 25-h2 |
在Rt△RQH中，QH=
| RQ2-RH2 |
| 13-h2 |
∴PQ=
| 25-h2 |
| 13-h2 |
| 25-h2 |
| 13-h2 |
两边平方得，25-h2=36-12
| 13-h2 |
整理得，
| 13-h2 |
两边平方得，13-h2=4，
解得h=3，
∴S△PQR=
| 1 |
| 2 |
∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m2．
故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110．
点评：本题考查了勾股定理，构图法求三角形的面积，全等三角形的判定与性质，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键．
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