题目内容

【题目】已知抛物线y=x2+kx+2k﹣4

1)当k=2时,求出此抛物线的顶点坐标;

2)求证:无论k为任何实数,抛物线都与x轴有交点,且经过x轴一定点;

3)已知抛物线与x轴交于Ax10)、Bx20)两点(AB的左边),|x1||x2|,与y轴交于C点,且SABC=15.问:过ABC三点的圆与该抛物线是否有第四个交点?试说明理由.如果有,求出其坐标.

【答案】(1)顶点坐标为(﹣1,﹣1).(2)证明见解析;(3)(1,﹣6).

【解析】解:(1)当=2时,抛物线为…………………………1分

配方: +1-1

-1,

顶点坐标为(-1,-1);………………………………………………3分

(也可由顶点公式求得)

(2)令=0,有4=0,………………………………4分

此一元二次方程根的判别式

-4·-4)=+16=…………………5分

无论为什么实数, 0,

方程4=0都有解,…………………………………………6分

即抛物线总与轴有交点.

由求根公式得………………………………………………7分

4时,

1=-2, 2=-+2;

<4时,

1=-+2, 2=-2.

即抛物线与轴的交点分别为(-2,0)和(-+2,0),

而点(-2,0)是轴上的定点;…………………………………………8分

(3)过A,B,C三点的圆与该抛物线有第四个交点.…………………9分

设此点为D.| 1|| 2|C点在y轴上,

由抛物线的对称,可知点C不是抛物线的顶点.……………………………10分

由于圆和抛物线都是轴对称图形,

过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形.……………………11分

轴上的两点A、B关于抛物线对称轴对称,

过A、B、C三点的圆与抛物线的第四个

交点D应与C点关于抛物线对称轴对称.……………………………………12分

由抛物线与轴的交点分别为(-2,0)和(-+2,0):

当-2<-+2,即<4时,…………………………13分

A点坐标为(-2,0),B为(-+2,0).

1=-2, 2=-+2.

| 1|| 2|得-+2>2,解得<0.

根据SABC=15,得AB·OC=15.

AB=-+2-(-2)=4-

OC=|-4|=4-2

(4-)(4-2)=15,

化简整理得=0,

解得=7(舍去)或=-1.

此时抛物线解析式为

其对称轴为,C点坐标为(0,-6),

它关于的对称点D坐标为(1,-6);………………………………14分

当-2>-+2,由A点在B点左边,

知A点坐标为(-+2,0),B为(-2,0).

1=-+2, 2=-2.

但此时| 1|| 2|,这与已知条件| 1|| 2|不相符,

不存在此种情况.

故第四个交点的坐标为(1,-6).

(如图6)

(1)把=2代入抛物线,通过配方可求得此抛物线的顶点坐标

2)令y=0,解方程4,即可求出抛物线与x轴两交点的横坐标,定点为与k值无关的点;

3)过ABC三点的圆与抛物线有第四个交点D,根据ABC三点坐标,讨论k的范围,表示△ABC的面积,列方程求k,再根据对称性求D点坐标

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