题目内容
【题目】已知,如图,△ABC的三条边BC=,CA=
,AB=
,D为△ABC内一点,且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°,DA=
,DB=
,DC=
.
(1)若∠CDB=18°,则∠BCD= °;
(2)将△ACD绕点A顺时针方向旋转90°到,画出
,若∠CAD=20°,求
度数;
(3)试画出符合下列条件的正三角形:M为正三角形内的一点,M到正三角形三个顶点的距离分别为、
、
,且正三角形的边长为
+
+
,并给予证明.
【答案】(1)42;
(2)画图见解析, 度数是70°;
(3)画图见解析,证明见解析
【解析】(本小题满分14分)
解:(1)42;……………………………………………………………………1分
(2)画图如下(如图5).………………………………………………………3分
∵∠DA=90°,∠CAD=20°,
∴∠CA=∠DA
-∠CAD=90°-20°=70°;…………5分
(3)画图如下:将△BDC绕点B按逆时针方向旋转60°…………………2分
到△BEF的位置(如图6).
连结DE,CF,这样可知△BDE和△BCF均为等边三角形,
从而DE=,CF=
.
∵∠ADB=120°,∠BDE=60°,即∠ADE=180°,
则A、D、E三点共线(即该三点在同一条直线上).……………………………3分
同理,∵∠BEF=∠BDC=120°,∠BED=60°,
即∠DEF=180°,则D、E、F三点共线,
∴A、D、E、F四点均在一条直线上.…………………………………………4分
∵EF=DC=,∴线段AF=
+
+
.
以线段AF为边在点B一侧作等边△AFG(图6),……………………………5分
则△AFG即为符合条件的等边三角形,其中的点B即为点M.…………………6分
正三角形的边长为+
+
已证,BA=
,BF=BC=
,
下面再证BG=.
∵∠CFB=∠AFG=60°,
即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°,∴∠1=∠2.
在△AFC和△GFB中,∵FA=FG,∠1=∠2,FC=FB,
∴△AFC≌△GFB(SAS),
∴AC=GB,即BG=CA=.
从而点B(M)到等边△AFG三个顶点的距离分别为、
、
,
且其边长为+
+
.………………………………………………………………8分
[注:把△ADB绕点A按逆时针方向旋转60°,
把△CDA绕点C按逆时针方向旋转60°,
把△ADC绕点A按顺时针方向旋转60°,
把△BCD绕点C按顺时针方向旋转60°等
均可证得,方法类似]