Question

x，y为实数，且满足y=

2x

x2+x+1

，则y的最大值是

 

Answer 1

分析：由于x²+x+1≠0，把等式变形为关于x的一元二次方程的一般式：yx²+（y-2）x+y=0，根据此方程有根，得到△≥0，得到y的不等式，解不等式可得y的取值范围，即可得到y的最大值．

解答：解：∵x²+x+1=0时，△=1²-4＜0，
∴x²+x+1≠0；
所以可将y=

2x

x2+x+1

变形为yx²+（y-2）x+y=0，把它视为关于x的一元二次方程，
∵x为实数，
∴△≥0，即△=（y-2）²-4y²=-（3y²+4y-4）=-（3y-2）（y+2）≥0，
∴（3y-2）（y+2）≤0，
解之得，-2≤y≤

2

3

；
所以y的最大值为

2

3

．
故答案为

2

3

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了转化的思想方法的运用．