题目内容
【题目】观察下列各个等式的规律:
第一个等式:22-12-1=2,第二个等式:32-22-1=4,第三个等式:42-32-1=6…请用上述等式反映出的规律解决下列问题:
(1)直接写出第四个等式;
(2)猜想第n个等式(用含n的式子表示),并证明你猜想的等式是正确的;
(3)直接写出20202-20192-2019=
【答案】（1）
；（2）
，证明见解析；（3）2020.
【解析】
（1）根据所给等式，可直接写出第四个等式；
（2）观察所给等式可得：等号左边的第一个数是序号加1的平方，第二个数是序号的平方，第三个数是1，等号右边是序号的二倍，据此写出第n个等式，然后展开证明即可；
（3）利用（2）中等式先求出20202-20192的值，然后即可求出结果.
（1）由题意得，第四个等式为：；
（2）观察所给等式可得：等号左边的第一个数是序号加1的平方，第二个数是序号的平方，第三个数是1，等号右边是序号的二倍，
故猜想第n个等式为：，
证明：左边＝
＝右边，
故等式成立；
（3）∵，
∴
，
∴20202-20192=2×2019+1，
∴20202-20192-2019=2×2019+1-2019=2020.
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