题目内容

如图，在直角坐标系中有一块三角板GEF按图1放置，其中∠GEF=60°，∠G=90°，EF=4．随后三角板的点E沿y轴向点O滑动，同时点F在x轴的正半轴上也随之滑动．当点E到达点O时，停止滑动．
（1）在图2中，利用直角三角形外接圆的性质说明点O、E、G、F四点在同一个圆上，并在图2中用尺规方法作出该圆，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）滑动过程中直线OG的函数表达式能确定吗？若能，请求出它的表达式；若不能，请说明理由；
（3）求出滑动过程中点G运动的路径的总长；
（4）若将三角板GEF换成一块∠G=90°，∠GEF=α的硬纸板，其它条件不变，试用含α的式子表示点G运动的路径的总长．

解：（1）取EF的中点M，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知
ME=MO=MF=MG，
∴O、E、G、F四点在以O为圆心，ME为半径的圆上；

（2）由（1）知∠GOX=∠GEF=60°，
∴滑动过程中∠GOX的度数保持不变，
过图1中的点G作GA⊥x轴，垂足为A，由EF=4，易得GE=2，

GO=2 $\text{[math]}$ ，在Rt△GOA中可求得G（ $\text{[math]}$ ，3），
设OG为y=kx，将G（ $\text{[math]}$ ，3）代入可得k= $\text{[math]}$ ，
∴直线OG的表达式为：y= $\text{[math]}$ x；

（3）在圆M中，总有OG≤EF=4，
∴滑动过程中OG最长为4，最短为2（此时点E到达点O，停止了滑动），
如图3所示为点G滑动的路径，

易知GG₁=4-2 $\text{[math]}$ ，G₁G₂=4-2=2，
∴点G运动的路径的总长=4-2 $\text{[math]}$ +2=6-2 $\text{[math]}$ ；

（4）当∠GEF=α时，仿上述方法易知∠GOX=α，
且点G的运动路线仅仅是长度上发生了变化，
此时有GG₁=4-4sinα，
G₁G₂=4-4cosα，

∴点G运动的路径的总长=4-4sinα+4-4cosα
=8-4sinα-4cosα．
分析：（1）根据∠EOF+∠EGF=180°，可知点O、E、G、F四点在同一个圆上；作出一直角三角形的斜边的中点即为外接圆圆心，斜边的一半为外接圆半径；
（2）设出直线解析式，可求得点G的坐标，代入即可；
（3）画出示意图，利用三角函数可求得滑动路程的和；
（4）方法同（3），只需把度数改为α．
点评：直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，外接圆的半径是斜边的一半，注意特殊三角函数的运用，以及类比方法的使用．