题目内容
【题目】如图,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点
A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.直线AB交y轴于点D,抛物线交y轴于点C.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在y轴上是否存在点Q,使△ABQ为直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)y=2x-6,(2)y=x2-2x-3;(3)(0,-)或(0,)或(0,-1)或(0,-3).
【解析】
试题分析:(1)把点A坐标代入y=kx-6,根据待定系数法即可求得直线AB的解析式;
(2)根据直线AB的解析式求出点B的坐标,点A是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B的坐标,依据待定系数法即可求解;
(3)分别以A、B、Q为直角顶点,分类进行讨论.找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可.
试题解析:(1)把A(1,-4)代入y=kx-6,得k=2,
∴直线AB的解析式为y=2x-6,
(2)∵抛物线的顶点为A(1,-4),
∴设此抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,
∵点B在直线y=2x-6上,且横坐标为0,
∴点B的坐标为(3,0),
又∵点B在抛物线y=a(x-1)2-4上,
∴a(3-1)2-4=0,解之得a=1,
∴此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3;
(3)在y轴上存在点Q,使△ABQ为直角三角形.理由如下:
作AE⊥y轴,垂足为点E.
又∵点D是直线y=2x-6与y轴的交点,点C是抛物线y=x2-2x-3与y轴的交点
∴E(0,-4),D(0,-6),C(0,-3)
∴OD=6,OE=4,AE=1,ED=2,OC=3,OB=3,BD=,AD=
①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
∴,即,
∴DQ1=,
∴OQ1=6-=,即Q1(0,-);
②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴,即,
∴OQ2=,即Q2(0,);
③如图,当∠AQ3B=90°时,则△BOQ3∽△Q3EA,
∴,即,
∴OQ32-4OQ3+3=0,
∴OQ3=1或3,
即Q3(0,-1),Q4(0,-3).
综上,Q点坐标为(0,-)或(0,)或(0,-1)或(0,-3).