题目内容

（2013•金华模拟）探究：如图（1），在?ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连接AC，EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．
应用：以?ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图（2），连接EF，GH，IJ，KL．若?ABCD的面积为6，则图中阴影部分四个三角形的面积和为
12
12
．
推广：以?ABCD的四条边为矩形长边，在其形外分别作长与宽之比为
3
矩形，如图（3），连接EF，GH，IJ，KL．若图中阴影部分四个三角形的面积和为12
3
，求?ABCD的面积？
分析：探究：求出AF=AB，AE=AD=BC，∠FAE=∠ABC，根据SAS推出两三角形全等即可；
应用：过B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，过I作IZ⊥JC交JC的延长线于Z，过G作GR⊥BH于R，根据平行四边形的面积得出S平行四边形ABCD=AD×BO=CD×BS=6，根据平行四边形的性质得出AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，求出∠EAQ=∠BAD=∠BCS，证△EQA≌△BSC，求出EQ=BS，求出AF×EQ=CD×BS=6，推出S△EAF=
1
2
AF×EQ=3，同理S△CIJ=3，SLDK=
1
2
LD×KW=
1
2
AD×BO=
1
2
×6=3，即可得出答案；
推广：过B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，求出S平行四边形ABCD=AD×BO=CD×BS，设AD=BC=
3
a，AB=CD=
3
b，∠BAD=∠BCD，求出∠EAQ=∠BAD=∠BCS，∠Q=∠BSC=90°，证△EQA∽△BSC，求出BS=
3
EQ，求出S平行四边形ABCD=6S△EAF，同理S平行四边形ABCD=6S△LDK=6S△GBH=6S△ICJ，求出S△EAF=S△LDK=S△GBH=S△ICJ=3
3
，即可得出答案．
解答：探究：△ABC或△ADC，
证明：∵△AFB和△ADE是等腰直角三角形，
∴AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠FAE+∠DAB=360°-90°-90°=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=AE，AB=CD=AF，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠FAE=∠ABC，
在△FAE和△ABC中
AF=AB
∠FAE=∠ABC
AE=BC
，
∴△FAE≌△ABC，
同法可求△FAE≌△CDA；


应用：
解：过B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，过I作IZ⊥JC交JC的延长线于Z，过G作GR⊥BH于R，
则∠Q=∠BSC=90°，S平行四边形ABCD=AD×BO=CD×BS=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABGF、四边形BCIH、四边形CDKJ、四边形ADKL是正方形，
∴AE=AD=BC，DK=CD=AB，∠EAD=∠FAB=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAQ+∠EAF=180°，
∴∠EAQ=∠BAD=∠BCS，
在△EQA和△BSC中
∠EAQ=∠BCS
∠Q=∠BSC
AE=BC
，
∴△EQA≌△BSC，
∴EQ=BS，
∵AF=AB=CD，
∴AF×EQ=CD×BS=6，
∴S△EAF=
1
2
AF×EQ=
1
2
×6=3，
同理S△CIJ=3，SLDK=
1
2
LD×KW=
1
2
AD×BO=
1
2
×6=3，
S△GBH=3，
∴图中阴影部分四个三角形的面积和为3+3+3+3=12，
故答案为：12；

推广：
解：B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，
则∠Q=∠BSC=90°，S平行四边形ABCD=AD×BO=CD×BS，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=
3
a，AB=CD=
3
b，∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABGF、四边形BCIH、四边形CDKJ、四边形ADKL是矩形，
∴AE=DL=a，AF=BG=b，∠EAD=∠FAB=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAQ+∠EAF=180°，
∴∠EAQ=∠BAD=∠BCS，
∠Q=∠BSC=90°，
∴△EQA∽△BSC，
∴
EQ
BS
=
AE
BC
=
1
3
，
∴BS=
3
EQ，
∵AF=b，AD=
3
a，AF=b，
∴S△EAF=
1
2
AF×EQ=
1
2
b•EQ，
∵S平行四边形ABCD=AB×BS=
3
b•
3
EQ=3×2×
1
2
b•EQ=6S△EAF，
同理S平行四边形ABCD=6S△LDK=6S△GBH=6S△ICJ，
∴S△EAF=S△LDK=S△GBH=S△ICJ，
∵图中阴影部分四个三角形的面积和为12
3
，
∴S△EAF=S△LDK=S△GBH=S△ICJ=3
3
，
∴平行四边形ABCD的面积是6×3
3
=18
3
．
点评：本题考查了平行四边形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，求解过程类似．
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