Question

如图，以BC为直径的⊙O₁与⊙O₂外切，⊙O₁与⊙O₂的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O₁的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O₂的面积为π，则四边形ABCD的面积是       ．

Answer 1

12

解：∵⊙O₂的面积为π，
∴⊙O₂的半径是1，
∵AB和AH是⊙O₁的切线，
∴AB=AH，
设⊙O₂的半径是R，
连接DO₂，DO₁，O₂E，O₁H，AO₁，作O₂F⊥BC于F，

∵⊙O₁与⊙O₂外切，⊙O₁与⊙O₂的外公切线DC．DA，∠ADC=60°，
∴D．O₂、O₁三点共线，∠CDO₁=30°，
∴∠DAO₁=60°，∠O₂EC=∠ECF=∠CFO₂=90°，
∴四边形CFO₂E是矩形，
∴O₂E=CF，CE=FO₂，∠FO₂O₁=∠CDO₁=30°，
∴DO₂=2O₂E=2，∠HAO₁=60°，R+1=2（R﹣1），
解得：R=3，
即DO₁=2+1+3=6，
在Rt△CDO₁中，由勾股定理得：CD=3，
∵∠HO₁A=90°﹣60°=30°，HO₁=3，
∴AH==AB，
∴四边形ABCD的面积是：×（AB+CD）×BC=×（+3）×（3+3）=12．