题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G.求证:

(1)DF∥BC;
(2)FG=FE.

【答案】
(1)证明:∵AF平分∠CAB,

∴∠CAF=∠DAF.

在△ACF和△ADF中,

∴△ACF≌△ADF(SAS).

∴∠ACF=∠ADF.

∵∠ACB=90°,CE⊥AB,

∴∠ACE+∠CAE=90°,∠CAE+∠B=90°,

∴∠ACF=∠B,

∴∠ADF=∠B.

∴DF∥BC


(2)证明:∵DF∥BC,BC⊥AC,

∴FG⊥AC.

∵FE⊥AB,

又AF平分∠CAB,

∴FG=FE.


【解析】(1)根据已知,利用SAS判定△ACF≌△ADF,从而得到对应角相等,再根据同位角相等两直线平行,得到DF∥BC;(2)已知DF∥BC,AC⊥BC,则GF⊥AC,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF.

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