题目内容
【题目】观察发现：如图（1），⊙O是△ADC的外接圆，点B是边CD上的一点，且△ABC是等边三角形．OD与AB交于点E，以O为圆心、OE为半径的圆交AB于点F，连接CF、OF．
（1）求∠AOD的度数；
（2）线段AE、CF有何大小关系？证明你的猜想．
拓展应用：如图（2），△HJI是等边三角形，点K是IH延长线上的一点．点O是△JKI的外接圆圆心，OK与JH相交于点E．如果等边三角形△JHI的边长为2，请直接写出JE的最小值和此时∠JEO的度数．
【答案】观察发现：（1）∠AOD=120°；（2）结论：AE=CF．理由见解析；拓展应用： JE的最小值为
，此时∠JEO=45°．
【解析】
观察发现：（1）利用圆周角定理即可解决问题；
（2）结论：AE=CF．想办法证明△AOE≌△COF即可；
拓展应用：以O为圆心，以OE长为半径作圆，交JH于F，连结IF，则由以上结论可得：JE=IF．根据垂线段最短即可解决问题；
解：
观察发现：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠AOD=2∠ACB=120°
（2）结论：AE=CF．
理由如下：∵∠AOD=120°，
∴∠OEF+∠OAF=60°，
∵∠OAC+∠OAF=60°，
∴∠OEF=∠OAC，
∵OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OFE=∠OAC=∠OCA，
∴∠EOF=∠AOC，
∴∠EOF+∠AOF=∠AOC+∠AOF，
∴∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF．
拓展应用：以O为圆心，以OE长为半径作圆，交JH于F，连结IF，则由以上结论可得：JE=IF．
当IF⊥JH时IF最小，IF=JIsin60°=2×
=
，
∵∠FJO=∠OIF，∠FGJ=∠OGI，
∴∠JOI=∠JFI=90°，
∴∠OJI=45°，
∴∠JEO=∠OJI=45°，
∴JE的最小值为，此时∠JEO=45°．
