Question

如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。

（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C绕原点O旋转180⁰得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，B为抛物线上横坐标为2的点。
①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线O－B－A于E₁、F₁，再分别以线段EE₁、FF₁为边作如图2所示的等边△AE₁E₂、等边△AF₁F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当△AE₁E₂有一边与△AF₁F₂的某一边在同一直线上时，求时间t的值。

Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴为，∴ON=3。
∵，∴NM=9。∴M（－3，－9）。
∴设抛物线C的解析式为。
∵抛物线C经过原点，∴，即。
∴抛物线C的解析式为，即。
（2）①∵抛物线由抛物线C绕原点O旋转180⁰得到，
∴抛物线与抛物线C关于原点O对称。∴抛物线的顶点坐标为（3，9）。
∴抛物线的解析式为，即。
∵令y=0，得x=0或x=6，∴A（6，0）。
又∵B为抛物线上横坐标为2的点，∴令x=2，得y=8。∴B（2，8）。
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，解得：。
∴直线AB的解析式为。
∵P为线段AB上一动点，∴设P。
∴。
APD面积的最大值为9。
②如图，分别过E₂、F₂作x轴的垂线，垂足分别为G、H，

易求直线OB：，由①直线AB：。
当时，E₁在OB上，F₁在AB上，
OE=t，EE₁=4t，EG=，OG=，GE₂=2t；
OF=，FF₁=2t，HF=，OH=，HF₂= t。
∴E（t，0），E₁（t，4t），E₂（，2t），F（6－t，0），F₁（，2t），F₂（，t）。
i）若EE₁与FF₁在同一直线上，由t=6－t，t=3，不符合；
ii）若EE₂与F₁F₂在同一直线上，易求得EE₂：，将F₁（，2t）代入，得，解得；
iii）若E₁E₂与FF₂在同一直线上，易求得E₁E₂：，将F（，0）代入，得。
当时，E₁、F₁都在AB上，
OE=t，EE₁=，EG=，OG=，GE₂=；
OF=，FF₁=2t，HF=，OH=，HF₂= t。
∴E（t，0），E₁（t，），E₂（，），F（，0），F₁（，2t），F₂（，t）。
i）若EE₁与FF₁在同一直线上，由t=6－t，t=3；
ii）若EE₂与F₁F₂在同一直线上，易求得EE₂：，将F₁（，2t）代入，得，解得，不符合；
iii）E₁E₂与FF₂已在时在同一直线上，故当时E₁E₂与FF₂不可能在同一直线上。
当时，由上面讨论的结果，△AE₁E₂的一边与△AF₁F₂的某一边不可能在同一直线上。
综上所述，当△AE₁E₂有一边与△AF₁F₂的某一边在同一直线上时，或或t=3。

（1）根据求出顶点M的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
（2）①求出△APD面积关于点P横坐标的函数关系式，应用二次函数的最值原理求解。
②分，和三种情况讨论，每种情况又分EE₁与FF₁在同一直线上，EE₂与F₁F₂在同一直线和E₁E₂与FF₂在同一直线上三种情况讨论。