Question

二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果P（x，y）是抛物线AC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得PO=PA？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，在y=x²﹣中，
令y=0，0=x²﹣，
解得：x=4或6，
当x=0，y=6，可得：A（4，0），B（6，0），C（0，6）；
（2）设一次函数的解析式为：y=kx+b；
将B（6，0）、C（0，6）代入上式，
得：，解得；
∴y=﹣x+6；
根据题意得S_△POA=×4×y，
∵y=﹣x+6；
∴S_△POA=﹣2x+12；
∴0≤x＜6；
（3）∵|OB|=|OC|，∠COB=90°；
∴△BOC是等腰直角三角形；
当OP垂直平分AO时，根据垂直平分线的性质得出PO=PA，而OA=4，
∴P点横坐标为2，代入直线BC解析式即可，
∴y=﹣x+6=﹣2+6=4，∴P点坐标为：（2，4），
∴存在这样的点P（2，4），使得OP=AP．