Question

如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E,F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为___________。

Answer 1

5

试题分析：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，

∴PN=PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN=CF，
在△ANP和△CFP中
∠ANP=∠CFP，AN=CF，∠NAP=∠CFP，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=4，OB=3，
，
则PE+PF的最小值为5.
点评：解答本题的关键是理解题意确定出P的位置和求出AB=NF=EP+FP，题目比较典型，综合性比较强．