题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(02),点Pt0)在x轴上,B是线段PA的中点.将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°,得到线段PC,连结OBBC

1)判断△PBC的形状,并简要说明理由;

2)当t0时,试问:以POBC为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出相应的t的值?若不能,请说明理由;

3)当t为何值时,△AOP△APC相似?

【答案】(1)等腰直角三角形(2t=23±1±4

【解析】试题分析:(1)根据旋转的现在得出PB=PC,再根据B是线段PA的中点,得出∠BPC=90°,从而得出△PBC是等腰直角三角形.

2)根据OBP=BPC=90°,得出OBPC,再根据BPA的中点,得出四边形POBC是平行四边形,当OBBP时,得出OP2=2OB2,即t2=2t2+1),求出符合题意的t的值,即可得出答案;

3)根据题意得出∠AOP=∠APC=90°,再分两种情况讨论,当时和时,得出△AOP∽△APC△AOP∽△CPA,分别求出t的值即可.

试题解析:(1△PBC是等腰直角三角形,理由如下:

线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°,得到线段PC

∴PB=PC

∵B是线段PA的中点,

∴∠BPC=90°

∴△PBC是等腰直角三角形.

2)当OB⊥BP时,以POBC为顶点的四边形为平行四边形.

∵∠OBP=∠BPC=90°

∴OB∥PC

∵BPA的中点,

OB=AP=BP=PC

四边形POBC是平行四边形,

OBBP时,有OP=OB,即OP2=2OB2

t2=2t2+1),

∴t1=2t2=﹣2(不合题意),

t=2时,以POBC为顶点的四边形为平行四边形.

3)由题意可知,∠AOP=∠APC=90°

时,

△AOP∽△APC

此时OP=OA=1

∴t=±1

时,

△AOP∽△CPA

此时OP=2OA=4

∴t=±4

t=±1±4时,△AOP△CPA相似.

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