Question

如图1，已知点P是线段AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作等边△APC和等边△PBD．连接AD、BC，相交于点Q，AD交CP于点E，BC交PD于点F
（1）图1中有

3

对全等三角形；（不必证明）
（2）图1中设∠AQC=α，那么α=

60

°；（不必证明）
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定得出即可；
（2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．

解答：解：（1）△APD≌△CPB，△EPD≌△FPB，△APE≌△CPF，一共有3对．
故答案为：3；

（2）∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，

AP=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；
故答案为：60；

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，

AP=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴α=∠AQC=180°-120°=60°．

点评：本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键．