题目内容
【题目】如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，将线段BC绕点C顺时旋转90°得到线段CD，连接AD.
(1)说明△ACD的形状，并求出△ACD的面积;
(2)把等腰直角三角板按如图2的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在DC的延长线上，直角顶点与点C重合.从A，B两题中任选一题作答：
A .如图3，连接DE，BF,
①猜想并证明DE与BF之间的关系；②将三角板绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，直接写出DE与BF之间的关系.
B .将图2中的三角板绕点C逆时针旋转α(0＜α＜360°)，如图4所示，连接BE，DF，连接点C与BE的中点M,
①猜想并证明CM与DF之间的关系；②当CE＝1，CM＝
时，请直接写出α的值.
【答案】（1）△ACD是等腰三角形，
；（2）A①DE=BF，DE⊥BF，见解析；②DE=BF，DE⊥BF.
【解析】
（1）过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC=∠AED=90°.可证四边形ABCE是矩形，从而AE=BC=2，AB=CE=1，可得AE垂直平分CD，从而△ACD是等腰三角形；再根据三角形的面积公式计算即可；
（2）A.①根据“SAS”可证△BCF≌△DCE，从而DE=BF，∠CBF=∠CDE，延长DE交BF于点H，由∠DEC+∠CDE=90°，可证∠BEH+∠CBF=90°，所以∠BHE=90°，即DE⊥BF；
②证明方法同①；
B. ①延长MC交DF于点N，延长CM至点G，使CM=MG，连接EG，根据“SAS”证明△MEG≌△MBC，从而BC=GE， BC∥GE，然后再证明△ECG≌△CFD，可得CG=DF，∠ECG=∠CFD，进而可证明结论成立；
②作FH⊥DC，交DC的延长线与点H，设FH=x，CH=y.由勾股定理列方程组求出x与y的值，根据含30°角的直角三角形的性质可知∠FCH =30°，进而可求α=60°或300°.
△ACD是等腰三角形，理由如下：
过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC=∠AED=90°.
又∵∠ABC＝90°，∠BCE=90°，
∴四边形ABCE是矩形，∴AE=BC=2，AB=CE=1，∴CD=1，
∴AE垂直平分CD，∴AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形，
；
(2)A:
①DE=BF，DE⊥BF.理由如下：
由旋转可知，BC=CD=2,∠BCD=90°，
∵等腰直角△CEF顶点E在CB边上，顶点F在DC的延长线上，
∴CE=CF，∠BCF=∠DCE=90°.
在△BCF和△DCE中，BC=DC，∠BCF=∠DCE，CF=CE，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，
延长DE交BF于点H，
∵∠DEC+∠CDE=90°，∠DEC=∠BEH，∴∠BEH+∠CBF=90°，
∴∠BHE=90°，∴DE⊥BF；
②DE=BF，DE⊥BF.证明方法同①；
B:①CM=
DF，CM⊥DF.理由如下：
延长MC交DF于点N，延长CM至点G，使CM=MG，连接EG，
∵M是BE的中点，∴ME=MB.
在△MEG和△MBC中，ME=MB，∠EMG=∠BMC，MG=MC，
∴△MEG≌△MBC(SAS)，∴CM=MG=CG，BC=GE， BC∥GE，
∵BC=CD，∴EG=CD.
由旋转得∠BCE=α，
∵BC∥GE，∴∠CEG=180°-α，
∵∠DCF=360°-∠ECF-∠BCE-∠BCD=180°-α，
∴∠CEG=∠DCF，
在△ECG和△CFD中，CE=CF，∠CEG=∠DCF，∠CEG=∠DCF，
∴△ECG≌△CFD(SAS)，∴CG=DF，∠ECG=∠CFD，
∵MG=MC，∴MC=DF ，
∵∠ECF=90°，∴∠ECG+∠FCN=∠FCD+∠FCN=90°，
∴∠CNF=90°，∴DE⊥BF；
②作FH⊥DC，交DC的延长线与点H，设FH=x，CH=y.
∵CM=
，∴DF=CG=
，
∴
，解之得
.
∴FH=CF,
∴∠FCH =30°，∴∠FCD=120°，∴∠BCE=60°，
∴α=60°或300°.
【题目】某新店开业宣传，进店有礼活动，店员们需准备制作圆柱体礼品纸盒（如图①），每个纸盒由1个长方形侧面和2个圆形底面组成，现有100张正方形纸板全部以A或者B方法截剪制作（如图②），设截剪时x张用A方法．
（1）根据题意，完成以下表格：
裁剪法A | 裁剪法B | |
长方形侧面 | x |
|
圆形底面 |
| 0 |
（2）若裁剪出的长方形侧面和圆形底面恰好用完，问能做多少个纸盒？
（3）按以上制作方法，若店员们希望准备300个礼盒，那至少还需要正方形纸板 张．
