题目内容

【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.

【答案】
(1)证明:∵CE∥OD,DE∥OC,

∴四边形OCED是平行四边形,

∵矩形ABCD,∴AC=BD,OC= AC,OD= BD,

∴OC=OD,

∴四边形OCED是菱形;


(2)解:在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AC=4,

∴BC=2,

∴AB=DC=2

连接OE,交CD于点F,

∵四边形ABCD为菱形,

∴F为CD中点,

∵O为BD中点,

∴OF= BC=1,

∴OE=2OF=2,

∴S菱形OCED= ×OE×CD= ×2×2 =2


【解析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形,根据矩形的性质求出OC=OD,根据菱形的判定得出即可.(2)解直角三角形求出BC=2.AB=DC=2 ,连接OE,交CD于点F,根据菱形的性质得出F为CD中点,求出OF= BC=1,求出OE=2OF=2,求出菱形的面积即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识,掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.

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