题目内容

已知一次函数y=
3
x+m（O＜m≤1）的图象为直线l，直线l绕原点O旋转180°后得直线l′，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-
3
，-1）、B（
3
，-1）、C（O，2）．
（1）求直线l′的解析式（可以含m）；
（2）如图，l、l′分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；
（3）若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=
3
x平移时，判断△ABC介于直线l，l′之间部分的面积是否改变？若不变请指出来；若改变请直接写出面积变化的范围．（本小题不必说明理由）
分析：（1）先在直线l上取两点，再分别得出这两点绕原点O旋转180°后的对应点，然后运用待定系数法即可求出l′的解析式；
（2）先运用等边三角形的性质求出EF、GH的长度，再根据梯形的面积公式求解；
（3）根据平移的知识可知：沿y=
3
x平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为S'．显然，如果△ABC与l、l′没有交点，则面积S′取最小值0；由于m=1时，△ABC介于直线l，l′之间的部分是一个梯形，l与l′之间的距离是1，即梯形的高是1，则当EF+GH取最大值时，S′有最大值，此时直线l与l′中有一条过点C，且F、G落在△ABC的同一边上，可求S′=
5
3
3
，则0≤S'≤
5
3
3
．
解答：解：（1）∵一次函数y=
3
x+m（O＜m≤1）与x轴交于点M（-
3
3
m，0），与y轴交于点N（0，m），
∴点M、N绕原点O旋转180°后的对应点M′（
3
3
m，0），与y轴交于点N（0，-m），
由题意，知M′、N′在直线l′上，
运用待定系数法易得直线l′的解析式为y=
3
x-m；

（2）∵A（-
3
，-1）、C（O，2），∴直线AC的解析式为y=
3
x+2，
又∵直线l的解析式为y=
3
x+m，直线l′的解析式为y=
3
x-m，
∴l∥l′∥AC．
∵A（-
3
，-1）、B（
3
，-1）、C（O，2），
∴AB=BC=CA=2
3
，
∴△ABC是等边三角形．
∵当y=-1时，
3
x+m=-1，x=
-
3
-
3
m
3
，∴E（
-
3
-
3
m
3
，-1），BE=
3
-
-
3
-
3
m
3
=
4
3
+
3
m
3
，
当y=-1时，
3
x-m=-1，x=
-
3
+
3
m
3
，∴H（
-
3
+
3
m
3
，-1），BH=
3
-
-
3
+
3
m
3
=
4
3
-
3
m
3
，
∵l∥AC，△ABC是等边三角形，∴△BEF是等边三角形，EF=BE=
4
3
+
3
m
3
，
同理，HG=BH=
4
3
-
3
m
3
．
过点O作OD⊥MN于D，则2OD是梯形EFGH的高．
∵点M（-
3
3
m，0），点N（0，m），∴MN=
2
3
m
3
．
在△OMN中，由面积公式，得OD=
OM•ON
MN
=
1
2
m，∴2OD=m，
∴梯形EFGH的面积S=
1
2
（EF+GH）•2OD=
1
2
m（
4
3
+
3
m
3
+
4
3
-
3
m
3
）=
4
3
3
m，
∵
4
3
3
＞0，
∴S随m的增大而增大，
又∵0＜m≤1，
∴0＜S≤
4
3
3
；

（3）如果△ABC沿直线y=
3
x平移，由平移的知识可知面积不变；
如果△ABC沿直线y=x平移，面积改变，设其面积为S'，
易知S′最小值为0，S′取最大值时，直线l与l′中有一条过点C，且F、G落在△ABC的同一边上，
如图所示，此时求得S'=
5
3
3
．
则0≤S'≤
5
3
3
．
点评：此题主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的利用平移的性质和特点再结合具体图形的性质求解．
练习册系列答案
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18、已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a，1）和点（-2，b），则a=
0
，b=
7
．
已知一次函数y=3x+6，则坐标原点O到此直线的距离是
 
．
14、已知一次函数y=-3x+n的图象经过（-2，5），则在这个函数图象上的点是（　　）
已知一次函数y=3x-m和反比例函数y=
m-3
x
，当y=
1
3
时，自变量的值相等，求反比例函数的解析式．
已知一次函数y=
3
x-2的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，并且与反比例函数y=
k
x
的图象交于第一象限内一点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A的坐标；
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