Question

已知一次函数y=

3

x-2的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，并且与反比例函数y=

k

x

的图象交于第一象限内一点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）若射线OA与x轴的夹角为30°请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由一次函数y=

3

x-2的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，即可方程组：

b= 3 a-2                ① b+k= 3 (a+1)-2   ②

，解此方程组，即可求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式，得：

y= 3 x-2 y= 3 x

，解此方程组，即可求得点A的坐标；
（3）分别从OP=OA，OA=AP，AP=AP去分析求解，结合图形，即可求得符合条件的点P的坐标．

解答：解：（1）∵一次函数y=

3

x-2的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，
∴

b= 3 a-2                ① b+k= 3 (a+1)-2   ②

，
②-①得：k=

3

，
∴反比例函数的解析式为：y=

3

x

；

（2）联立一次函数与反比例函数的解析式，得：

y= 3 x-2 y= 3 x

，
解得：

x= 3 y=1

或

x=- 3 3 y=-3

，
∵点A在第一象限内，
∴点A的坐标为（

3

，1）；

（3）存在．
过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A（

3

，1），
∴OA=

AB2+OB2

=2，
如图1：当OP=OA时，OP=2，
则P₁（-2，0），P₂（2，0）；
当OA=PA时，OB=BP=

3

，
∴OP=OB+BP=2

3

，
∴P₃（2

3

，0）；
如图2：取OA的中点C，过点C作PC⊥OA，交x轴于P，
则OP=AP，
∵OA=2，
∴OC=

1

2

OA=1，
∵∠AOP=30°，
∴OP=

OC

cos∠AOP

=

1

3 2

=

2 3

3

，
∴P₄（

2 3

3

，0）．
综上，符合条件的点P的坐标为：P₁（-2，0），P₂（2，0），P₃（2

3

，0），P₄（

2 3

3

，0）．

点评：此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、函数思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意掌握辅助线的作法．