Question

【题目】如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面的结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,其中结论正确的有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①符合题意；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②符合题意；
在△ABP和△DBQ中，
∠BAP=∠BDQ AB=DB ∠ABP=∠DBQ=60°
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③符合题意；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④符合题意；
综上所述：正确的结论有4个；
故应选：D 。
①根据等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，根据等式的性质及平角的定义得出∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，从而利用SAS判断出△ABE≌△DBC ；②根据全等三角形对应角相等得出∠BAE=∠BDC，根据外角的定义得出∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，根据等量代换得出∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；③根据ASA判断出△ABP≌△DBQ，根据全等三角形的对应边相等得出BP=BQ，又∠PBQ=60° ，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，得出△BPQ为等边三角形；④首先由∠AMC+∠PBQ=180°得出P、B、Q、M四点共圆，又根据等弦所对的圆周角相等得出∠BMP=∠BMQ，从而得出MB平分∠AMC。