题目内容

如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)、D(2, n)三点.

(1)求抛物线的解析式及点D坐标;
(2)点M是抛物线对称轴上一动点,求使BM-AM的值最大时的点M的坐标;
(3)如图2,将射线BA沿BO翻折,交y轴于点C,交抛物线于点N,求点N的坐标;
(4)在(3)的条件下,连结ON,OD,如图2,请求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).

(1)y=x2﹣3x;(2,﹣2);(2)(,);(3)();(4)()或().

解析试题分析:(1)根据曲线上点的坐标与方程的关系,将(3,0)、B(4,4)代入y=ax2+bx即可求得抛物线的解析式,令x=2,即可求得点D坐标;
(2)抛物线对称轴上使BM-AM的值最大时的点M即直线AB与抛物线对称轴的交点,从而应用待定系数法求出直线AB的解析式,即可求得点M的坐标;
(3)用待定系数法求出直线CB的解析式,由点N在直线CB和抛物线y=x2﹣3x上,即可求出N点的坐标;
(4)应用对称或旋转的性质即可求得点P的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4),
∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x.∴D点的坐标为(2,﹣2).
(2)设直线AB解析式为:y="kx+m,"    将 A(3,0)、B(4,4)代人得
,解得. ∴直线AB解析式为:.
∵抛物线对称轴为,当时, ,
∴当点M(,)时,BM-AM的值最大.
(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),
根据轴对称性质得出∠CBO=∠ABO,∠COB=∠AOB,OB="OB," ∴△AOB≌△COB.
∴OC="OA." ∴点C(0,3).
设直线CB的解析式为y=kx+3,过点(4,4),∴直线CB的解析式是.
∵点N在直线CB上,∴设点N(n,).
又点N在抛物线y=x2﹣3x上,∴,解得:n1=,n2=4(不合题意,舍去)。
∴N点的坐标为().
(4)如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,则N1),B1(4,﹣4),
∴O、D、B1都在直线y=﹣x上.
∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N1OB1,∴△P1OD∽△N1OB1. ∴.
∴点P1的坐标为().
将△OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2).
综上所述,点P的坐标是()或().

考点:1.单动点和翻折问题;2. 待定系数法的应用,3. 曲线上点的坐标与方程的关系;4.二次函数的性质;5.相似三角形的判定和性质,6.分类思想的应用.

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