Question

选取二次三项式ax²+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如
①选取二次项和一次项配方：x²-4x+2=（x-2）²-2；
②选取二次项和常数项配方：x²-4x+2=（x-

2

）²+（2

2

-4）x，或x²-4x+2=（x+

2

）²-（4+2

2

）x；
③选取一次项和常数项配方：x²-4x+2=（

2

x-

2

）²-x²．
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x²-8x+4的两种不同形式的配方；
（2）若x²+y²+xy-3y+3=0，求xy的值；
（3）若关于x的代数式9x²-（m+6）x+m-2是完全平方式，求m的值；
（4）用配方法证明：无论x取什么实数时，总有x²+4x+5≥1恒成立．

Answer 1

分析：（1）可选取二次项和一次项配方或选取二次项和常数项配方；
（2）利用配方法得到（x+

1

2

y）²+3（

1

2

y-1）²=0，再根据非负数的性质得x+

1

2

y=0，

1

2

y-1=0，然后解出x、y，即可得到xy的值；
（3）由于代数式9x²-（m+6）x+m-2是完全平方式，则9x²-（m+6）x+m-2=0有等根，所以（m+6）²-4×9×（m-2）=0，然后解关于m的一元二次方程；
（4）配方得到x²+4x+5=（x+2）²+1，然后根据非负数的性质进行证明．

解答：（1）解：①选取二次项和一次项配方：x²-8x+4=（x-4）²-12；
②选取二次项和常数项配方：x²-8x+4=（x-2）²-4x；
（2）解：∵x²+y²+xy-3y+3=0，
∴（x+

1

2

y）²+3（

1

2

y-1）²=0，
∴x+

1

2

y=0，

1

2

y-1=0，
∴x=-1，y=2，
∴xy=-2；
（3）解：根据题意得（m+6）²-4×9×（m-2）=0，解得m=6或m=18；
（4）证明：x²+4x+5=（x+2）²+1，
∵（x+2）²≥0，
∴x²+4x+5≥1．

点评：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值；配方法的综合应用．