题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=- $数学公式$ x²+bx+c经过点A（1，3），B（0，1）．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C，
①求△ABC的面积；
②在y轴上取一点P，使△ABP与△ABC相似，求满足条件的所有P点坐标．

解：（1）将A（1，3），B（0，1），代入 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，c=1．
∴抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ．
∴顶点坐标为 $\text{[math]}$ ．

（2）①由对称性得C（4，3）．
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ |3-1|•|4-1|=3．

②将直线AC与y轴交点记作D，
∵ $\text{[math]}$ ，∠CDB为公共角，
∴△ABD∽△BCD．
∴∠ABD=∠BCD．
1°当∠PAB=∠ABC时， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，AC=3
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
2°当∠PAB=∠BAC时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
综上所述满足条件的P点有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将A（1，3），B（0，1），代入 $\text{[math]}$ ，即可得出答案；
（2）①由对称性得C（4，3），根据三角形面积公式即可求解；
②将直线AC与y轴交点记作D，由 $\text{[math]}$ ，∠CDB为公共角，可得△ABD∽△BCD．从而∠ABD=∠BCD．分1°当∠PAB=∠ABC时，2°当∠PAB=∠BAC时两种情况讨论即可得出答案．
点评：本题考查了二次函数综合题，难度适中，关键是掌握分类讨论的思想解题．