题目内容

【题目】已知:平面直角坐标系中,点Ay轴的正半轴上,点B在第二象限, AO= AB∠BOX=150° .

1)试判定△ABO的形状

2)若BC⊥BOBC=BO,点DCO的中点,ACDB交于E,求证:AE=BE+CE.

3如图:若点Ey轴的正半轴上一动点,以BE为边作等边△BEG,延长GAx轴于点P,问:APAO之间有何数量关系,试证明你的结论.

【答案】(1) △AOB为等边三角形;(2)证明见解析;(3)AP=2AO,理由见解析.

【解析】试题分析:(1)根据∠BOX=150°,AOX=90°,计算出∠AOB=60°,又因为AO= AB,所以可以判定△ABO是等边三角形,(2)AC上截取AM=CE,先证AEB=60°,理由是根据题意可得△AOB为等边三角形, △BOC为等腰直角三角形,确定出ABD度数,根据AB=BC,且夹角∠BAC=BCA,利用SAS得到△BCM和△BAE全等,利用全等三角形的性质可得BM=BE,得到△BEM是等边三角形,得到BE=EM,AE=EM+AM,等量代换即可求证,

(3)AP=2AO,理由是根据题意得到BG=BE,AB=OB,

利用等式的性质得到∠ABG=OBE=60°,利用外角的性质得到∠APO=30°,在直角三角形中,利用30度所对直角边等于斜边的一半可以得到AP=2AO.

试题解析:(1)OBx轴正半轴夹角为150°,x轴⊥y,

∴∠AOB=150°-90°=60°,

AO=AB,

∴△AOB为等边三角形,

2)在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,AE=CM,

∵△AOB为等边三角形,BOC为等腰直角三角形,

∴∠OBC=90°,ABO=60°,

DCO的中点,

BD平分∠OBC,即∠CBD=OBD=45°,

∴∠ABD=105°,ABC=150°,

∴∠BAC=BCA=15°,

∴∠AEB=60°,

在△ABE和△CBM,AB=CB,BAE=BCM,AE=CM,

∴△ABE≌△CBMSAS,

BM=BE,

∴△BEM为等边三角形,

BE=EM,

AE=AM+EM=CE+BE,

3AP=2AO,理由为:

∵△AOB与△BGE都为等边三角形,

BE=BG,AB=OB,EBG=OBA=60°,

∴∠EBG+EBA=OBA+EBA,即∠ABG=OBE,

在△ABG和△OBE,AB=OB,ABG=OBE,BE=BG,

∴△ABG≌△OBESAS,

∴△ABG≌△OBESAS,

∴∠BAG=BOE=60°,

∴∠GAO=GAB+BAO=120°,

∵∠GAOAOP的外角,且∠AOP=90°,

∴∠APO=30°,

RtAOP,APO=30°,

AP=2AO

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