Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC与BD交于点O，将△ABD绕点D顺时针方向旋转，得到△EFD，旋转角为α（0°＜α＜180°）点A的对应点为点E，点B的对应点为点F

（1）求证：四边形形ABCD是菱形
（2）若∠BAD=30°，DE边为与AB边相交于点M，当点F恰好落在AC上时，求证：MD=ME
（3）若△ABD的周长是48，EF边与BC边交于点N，DF边与BC边交于点P，在旋转的过程中，当△FNP是直角三角形是，△FNP的面积是多少．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∴∠DAC=∠ACD，

∴AD=DC，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）

证明：如图1中，连接AE．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，BO=OD，AC⊥BD，

∴∠FOD=90°，

∵△ABD旋转得到△EFD，

∴∠BDF=∠ADE，AD=DE，BD=DF，

∵点F恰好在AC上，

∴DF=2OD，

在Rt△FOD中，cos∠ODF= = ，

∴∠ADE=∠BDF=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠EAD=60°，

∵∠MAD=30°，

∴∠EAM=∠EAD﹣∠MAD=30°，

∴∠EAM=∠MAD，

∴DM=EM．

（3）

解：如图2中，作EH⊥DF．

∵AB=AD=15，△ABD的周长为48，

∴BD=48﹣15﹣15=18，

当DF⊥BC时，△PNF是直角三角形，

在Rt△COB中，OC= =12，

∵ BDOC= BCDP，

∴DP= ，

∵DF=BD=18，

∴PF=18﹣ = ，

∵PN∥EH，

∴ = ，

∴ = ，

∴PN= ，

∴S△PNF= × × = ．

故答案为 ．

【解析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图1中，连接AE．只要证明△ADE是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明；（3）如图2中，作EH⊥DF．当DF⊥BC时，△PNF是直角三角形，想办法求出PN、PF即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和旋转的性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．