题目内容

如图，⊙M与y轴的正半轴相切于点C，与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₂＞x₁＞0，抛物线y= $数学公式$ （x²-5x+2m）经过A、B、C三点．
（1）求m的值；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）在图中的曲线上是否存在点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△COA相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图：过点M作MD⊥AB于点D，
当x=0时，y=m，∴C（0，m）
当y=0时，有 $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+m=0
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=2m，
AD= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ （x₂-x₁）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
∵⊙M与y轴相切于点C，
∵AB=0B-OA=x₂-x₁，
∴OD=AD+OA= $\text{[math]}$ AB+OA= $\text{[math]}$ +x₁= $\text{[math]}$ （x₁+x₂），
∴CM=AM=OD= $\text{[math]}$ （x₁+x₂）= $\text{[math]}$ ．
DM=OC=m，
在直角三角形AMD中，
AM²=AD²+MD²，
即： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +m²，
解得：m₁=0，m₂=2．
∵m＞0，
∴m=2．

（2）∵m=2，
∴y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+2
∴C（0，2）
当y=0时， $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+2=0
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，AD= $\text{[math]}$ ，AM= $\text{[math]}$ ，MD=2
∵S_△ABM= $\text{[math]}$ AB•MD= $\text{[math]}$ AM•BM•sin∠AMB，
∴ $\text{[math]}$ ×3×2= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×sin∠AMB，
∴sin∠AMB= $\text{[math]}$ ．

（3）如图：

分别过点A，C作AC的垂线交抛物线于P₁和P₂，
∵A（1，0），C（0，2），AC= $\text{[math]}$
∴AC：y=-2x+2
AP₁：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
AP₂：y= $\text{[math]}$ x+2，
由 $\text{[math]}$ 得：p₁（5，2），AP₁=2 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△P₁AC∽△COA．
由 $\text{[math]}$ 得：P₂（6，5），CP₂=3 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ ，
∴△P₂AC与△AOC不相似．
因此，存在点P（5，2）．
分析：（1）过点M作x轴的垂线，垂足为点D，在直角三角形AMD中用勾股定理计算求出m的值．
（2）利用（1）中求出的m的值，得到点A，B，M的坐标，求出线段AB，MD，AM的长，然后在△ABM中，用面积法求出sin∠AMB的值．
（3）分别过A，C两点作AC的垂线，与抛物线交于点P₁和点P₂，因为△AOC中，OA=1，OC=2，所以当△PAC中，满足两直角边的比是1：2时，点P就存在，否则，就不存在．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的性质，利用勾股定理求出m的值．（2）用面积法求出角的正弦值．（3）根据相似三角形的性质求出点P的坐标．